論説委員・中本哲也　「巴戦の数学」を復習した

優勝決定戦

大相撲夏場所は、大関同士の決定戦を制した照ノ富士の優勝（２場所連続４度目）で幕を閉じた。両ひざの故障などで一時は序二段まで番付を落とした照ノ富士は、７月場所で横綱昇進を目指す。

決定戦で敗れた貴景勝も「優勝に準ずる」成績である。綱取りの資格はあるはずだ。稀勢の里（現荒磯親方）は１２勝３敗で優勝次点（優勝力士とは星２つ差）の翌場所に初優勝し、横綱昇進を決めた。

７月場所は、２大関が横綱昇進をかけ、横綱白鵬は進退をかけて臨むことになる。

ところで、夏場所の優勝争いは３人の力士による「巴（ともえ）戦」になる可能性があった。

千秋楽結び前の一番で遠藤が敗れて実現しなかったが、遠藤は本割で両大関に勝っているだけに、巴戦も見たかった、という思いがある。

等比数列の和

巴戦は３人の力士の星が並んだときに行われる決定戦で、最初に２人が対戦し、勝った力士は控え力士と戦って、誰かが連勝するまで続ける。

巴戦に関して「最初に控えになる力士が他の２人よりも不利になる」という通説がある。

この通説について、自分なりに考察したことがある。久しぶりに復習してみた。

Ａ、Ｂ、Ｃの３力士による巴戦で、最初にＡとＢが対戦するときＣの優勝確率を考える。

〇を勝ち、●を負け、△を控えで決着しない場合とする。

Ｃの優勝パターンは【〇〇】【〇●△〇〇】【〇●△〇●△〇〇】【〇●△〇●△〇●△〇〇】…延々と続く。

通説は、〇●△の確率をすべて２分の１とした。この場合のＣの優勝確率は【４分の１】＋【３２分の１】＋【２５６分の１】＋【２０４８分の１】＋…と続く。初項が４分の１、公比が８分の１の「等比数列の和」である。

公式を使わずに（その方が楽しい）値を求めてみよう。Ｃの優勝確率をＸとし８倍する。

８Ｘ＝【２】＋【４分の１】＋【３２分の１】＋【２５６分の１】＋…。２項目から先は元のＸに等しくなる。よって、

８Ｘ＝２＋Ｘ

Ｘ＝７分の２

Ｃの優勝確率は３分の１より小さい。Ｃの力士だけは、初戦で負けるとその時点で巴戦が決着してしまうためだ。